Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya pelajarilah Definisi Limit Secara Formal. Anda bisa membaca tulisan kami yang lain pada blog kami yang lain dengan judul Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi.
Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).
Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).
Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.
Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .
Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .
Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?
Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $
Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$
dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:
$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.
Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini.
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.
Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $
Penyelesaian:
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.
Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.
