Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan salah satu mata kuliah yang pernah penulis pelajari. Penulis ingin berbagi catatan tentang materi Persamaan Diferensial Biasa. Bagi kalian yang ingin mengikuti catatan-catatan ini silahkan untuk melihatnya pada kategori Persamaan Diferensial.
1. Pengertian Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dan derivatif-derivatifnya. Jika pada persamaan tersebut, hanya terdapat satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial biasa (PDB) dan jika lebih dari satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial parsial (sebagian).
2. Membentuk Persamaan Diferensial
Jika diketahui suatu fungsinya maka untuk membentuk persamaan diferensialnya, turunkan sampai orde (tingkat) ke banyaknya konstanta yang termuat dalam fungsi dan kemudian mengeliminasi konstanta-konstanta berdasarkan banyaknya konstanta+1 persamaan.
Misalnya diberikan fungsi $y=A sin \ 3x + B cos \ 3x $. Kita akan membentuk persamaan diferensial dari fungsi tersebut. Perhatikan bahwa fungsi tersebut memuat dua konstanta A dan B.
Pertama, kita turunkan y terhadap x sampai turunan kedua karena terdapat dua konstanta yang ingin kita hilangkan yang termuat dalam fungsi, yaitu A dan B.
Pertama, kita turunkan y terhadap x sampai turunan kedua karena terdapat dua konstanta yang ingin kita hilangkan yang termuat dalam fungsi, yaitu A dan B.
$y=A sin \ 3x + B cos \ 3x \ .... (1)$
$\frac{dy}{dx} = 3A cos \ 3x - 3B sin \ 3x \ .... (2)$
$\frac{d^2y}{(dx)^2} = -9A sin \ 3x - 9B cos \ 3x \ .... (3)$
Kedua, kita mengeliminasi konstanta A dan B dengan menggunakan pers 1 dan 3, sehingga kita peroleh:
Jadi, persamaan diferensial rumpun kurva tersebut adalah $\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$ atau bisa juga ditulis dengan $y"+9y=0$
3. Menyelesaikan Persamaan Diferensial
Menyelesaikan persamaan diferensial adalah menemukan $y=f(x)$ yang memenuhi suatu PD dan inilah yang disebut sebagai solusi PD.
a. Solusi Umum: Sebuah solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain. Solusi umum ini memuat n konstanta sebarang.
b. Solusi Khusus: Solusi yang tidak memuat konstanta sebarang.
c. Solusi Singular: Dalam beberapa kasus terdapat solusi lain dari peraamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari solusi umum.
Catatan: Konstanta sebarang dilambangkan dengan C atau k.
Demikian pembahasan singkat ini, semoga dapat dipahami. Baca selanjutnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.
$\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$
Jadi, persamaan diferensial rumpun kurva tersebut adalah $\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$ atau bisa juga ditulis dengan $y"+9y=0$
3. Menyelesaikan Persamaan Diferensial
Menyelesaikan persamaan diferensial adalah menemukan $y=f(x)$ yang memenuhi suatu PD dan inilah yang disebut sebagai solusi PD.
a. Solusi Umum: Sebuah solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain. Solusi umum ini memuat n konstanta sebarang.
b. Solusi Khusus: Solusi yang tidak memuat konstanta sebarang.
c. Solusi Singular: Dalam beberapa kasus terdapat solusi lain dari peraamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari solusi umum.
Catatan: Konstanta sebarang dilambangkan dengan C atau k.
Demikian pembahasan singkat ini, semoga dapat dipahami. Baca selanjutnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.
