Pandang PD
$(ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0$.
Kita selesaikan dengan cara mengubah ke bentuk PD yang dapat dipisahkan.
1) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}= \alpha $
Gunakan transformasi $px+qy+r =u $ sehingga $ax+by+c= \alpha u $. Dengan ini, bentuk akan tereduksi menjadi PD dengan variabel terpisah kemudian selesaikan.
2) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}$ atau $px+qy=k (ax+by)$; $k \in R $
Misalkan $ax+by=u $ maka $px+qy=ku $ dengan $dy =\frac{du-a \ dx}{b} $, substitusikan ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan dalam x dan u.
3) Kasus $\frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $ atau $px+q \neq k (ax+by) $
Gunakan transformasi:
$ax+by+c=u $ $\Rightarrow$ $ a \ dx+ b \ dy=du $
$px+qy+r=v $ $\Rightarrow$ $ p \ dx+ q \ dy=du $
Dari dua persamaan ini diperoleh:
$dx = \frac{q \ du - b \ dv}{aq-bp} $
$dy = \frac{a \ dv - p \ du}{aq-bp} $
Karena $aq-bp \neq 0$ maka bentuk PD menjadi PD homogen, yaitu $(qu-pv)du+(av-bu)dv=0$.
Selesaikan dan ganti $u $ dan $v $ kembali.
Contoh Soal: Selesaikanlah PD berikut ini!
$(x-2y+9)dx-(3x-6y+19)dy=0$
Penyelesaian:
$3x-6y=3 (x-2y) $
Misal $u=x-2y $ dengan $dy = \frac{dx-du}{2}$
Maka
$\begin{align} (x-2y+9)dx - (3 (x-2y)+19)dy &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u+19) \frac{dx-du}{2} &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u \frac{dx}{2} - 3u \frac{du}{2}+19 \frac{dx}{2} - 19 \frac{du}{2}) &=0 \\ \Leftrightarrow (\frac{2u-3u}{2} dx + \frac{18-19}{2} dx + \frac{3u}{2} du +\frac{19}{2} du &=0 \\ \Leftrightarrow -u \ dx - 1 \ dx + 3u \ du + 19 \ du &=0 \\ \Leftrightarrow (-u-1)dx+ (3u+19)du &=0 \end{align} $
Diperoleh
$\begin{align} dx &= \frac{3u+19}{u+1} du \\ \Leftrightarrow \int dx &= \int \frac{3u+19}{u+1} du \\ \Leftrightarrow x &= \int 3+ \frac{16}{u+1} du \\ \Leftrightarrow x &= 3u+16 \ln |u+1|+k \\ \Leftrightarrow x &= 3 (x-2y)+16 \ln |x-2y+1|+k \end{align} $
Contoh Soal: Selesaikanlah PD berikut ini!
$(x-2y+9)dx-(3x-6y+19)dy=0$
Penyelesaian:
$3x-6y=3 (x-2y) $
Misal $u=x-2y $ dengan $dy = \frac{dx-du}{2}$
Maka
$\begin{align} (x-2y+9)dx - (3 (x-2y)+19)dy &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u+19) \frac{dx-du}{2} &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u \frac{dx}{2} - 3u \frac{du}{2}+19 \frac{dx}{2} - 19 \frac{du}{2}) &=0 \\ \Leftrightarrow (\frac{2u-3u}{2} dx + \frac{18-19}{2} dx + \frac{3u}{2} du +\frac{19}{2} du &=0 \\ \Leftrightarrow -u \ dx - 1 \ dx + 3u \ du + 19 \ du &=0 \\ \Leftrightarrow (-u-1)dx+ (3u+19)du &=0 \end{align} $
Diperoleh
$\begin{align} dx &= \frac{3u+19}{u+1} du \\ \Leftrightarrow \int dx &= \int \frac{3u+19}{u+1} du \\ \Leftrightarrow x &= \int 3+ \frac{16}{u+1} du \\ \Leftrightarrow x &= 3u+16 \ln |u+1|+k \\ \Leftrightarrow x &= 3 (x-2y)+16 \ln |x-2y+1|+k \end{align} $
