Dalam penelitian fisika, seperti bandul menggunakan turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.
Definisi Turunan
Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi. Turunan fungsi dinotasikan f'(x), dengan rumus : f'(x) =
lim x→0
f(x + h) - f(x) h
Bentuk limit di atas disebut dengan derivatif atau turunan pertama fungsi f(x) dan ditulis f'(x). Proses mencari derivatif disebut dengan differensial.
Jenis-Jenis Notasi Turunan
Jika membaca beberapa sumber referensi, terdapat penulisan notasi yang berbeda-beda dalam melambangkan sebuah turunan. Terdapat tiga jenis notasi turunan yaitu :- y' = f'(x) , merupakan notasi Lagrange
- dy dx=df(x) dx, merupakan notasi >Leibniz
- Dxy = Dx[f(x)] , merupakan notasi Euler.
Soal - Soal Latihan Turunan
Soal No.1Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12
Pembahasan
a) f(x) = 10x
⇔f(x) = 10x1
⇔f'(x) = 10x1−1
⇔f'(x) = 10x0
⇔f'(x) = 10
b) f(x) = 8
⇔f(x) = 8x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 8x0−1
⇔f'(x) = 0
c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x0−1
⇔f'(x) = 0
⇔f(x) = 10x1
⇔f'(x) = 10x1−1
⇔f'(x) = 10x0
⇔f'(x) = 10
b) f(x) = 8
⇔f(x) = 8x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 8x0−1
⇔f'(x) = 0
c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x0−1
⇔f'(x) = 0
Soal No.2
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini :
a. f(x) = 6x
b. f(x) = x4
c. f(x) = -4x5
d. f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x -5
Pembahasan
a. f(x) = 6x
⇔ f'(x) = 6
b. f(x) = x4
⇔ f'(x) = 4x3
c. f(x) = -4x5
⇔ f'(x) = -20x4
d. f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x2 - 6x + 8
⇔ f'(x) = 6
b. f(x) = x4
⇔ f'(x) = 4x3
c. f(x) = -4x5
⇔ f'(x) = -20x4
d. f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x2 - 6x + 8
Soal No.3
Carilah Turunan Kedua (f"(x)) dari fungsi f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x - 5
Pembahasan
f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x - 5
f'(x) = 4.3x(3-1) - 3.2x(2-1) + 8 - 0
f'(x) = 12x2 -6x + 8
f"(x) = 12.2x(2-1) - 6 + 0
f"(x) = 24x - 6
f'(x) = 4.3x(3-1) - 3.2x(2-1) + 8 - 0
f'(x) = 12x2 -6x + 8
f"(x) = 12.2x(2-1) - 6 + 0
f"(x) = 24x - 6
Soal No.4
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) =
2 x
b. f(x) =
1 4x6
Pembahasan
a. f(x) =
f'(x) = 2.(-1)x(-1-1)
f'(x) = -2x-2
f'(x) = -
b. f(x) =
f'(x) =
f'(x) = -
f'(x) = -
2 x
⇔ f(x) = 2x-1f'(x) = 2.(-1)x(-1-1)
f'(x) = -2x-2
f'(x) = -
2 x2
b. f(x) =
1 4x6
⇔ f(x) = 1 4
x-6f'(x) =
1 4
.(-6) . x(-6-1)f'(x) = -
3 2
x-7f'(x) = -
3 2x7
Soal No.5
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) = 3x1/2
b. f(x) = 6x3/2
Pembahasan
a. f(x) = 3x1/2
⇔ f'(x) =
⇔ f'(x) =
b. f(x) = 6x3/2
⇔ f'(x) =
⇔ f'(x) = 9x1/2
⇔ f'(x) =
1 2
. 3x(1/2 - 1)⇔ f'(x) =
3 2
. x-1/2b. f(x) = 6x3/2
⇔ f'(x) =
3 2
. 6x(3/2 - 1)⇔ f'(x) = 9x1/2
Soal No.6
Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)
Pembahasan
Misal :
u = (x2 + 2x + 3)
v = (4x + 5)
Sehingga didapatkan u' = 2x + 2 v' = 4
Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u'v + uv' sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x2 + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x2 + 4x2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x2 + 26x + 22
u = (x2 + 2x + 3)
v = (4x + 5)
Sehingga didapatkan u' = 2x + 2 v' = 4
Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u'v + uv' sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x2 + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x2 + 4x2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x2 + 26x + 22
Soal No.7
Diketahui :
f(x) =
x2 + 3 2x + 1
Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =..?
Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah:
f(x) =
f(0) =
Sedangkan untuk menentukan turunan terhadap fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :
f(x) =
f(x) =
Dengan demikian, kita misalkan :
u = x2 + 3 ⇔ u' = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v' = 2
Sehingga turunannya adalah:
f(x) =
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Untuk nilai x = 0, maka di dapatkan:
f'(0) =
Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9
f(x) =
x2 + 3 2x + 1
f(0) =
02 + 3 2(0) + 1
= 3 Sedangkan untuk menentukan turunan terhadap fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :
f(x) =
u v
f(x) =
u'v - uv' v2
Dengan demikian, kita misalkan :
u = x2 + 3 ⇔ u' = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v' = 2
Sehingga turunannya adalah:
f(x) =
x2 + 3 2x + 1
f'(x) =
(2x)(2x+1) - (x2+3)(2) (2x + 1)2
f'(x) =
4x2 + 2x - 2x2 - 6 (2x + 1)2
f'(x) =
2x2 + 2x - 6 (2x + 1)2
Untuk nilai x = 0, maka di dapatkan:
f'(0) =
2.02 + 2.0 - 6 (2.0 + 1)2
= -6 Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9
Soal No.8
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi:
S(t) = 3t2 - 24t + 5
Hitunglah nilai t untuk mendapatkan kecepatan maksimum mobil tersebut
Pembahasan
Untuk mencari kecepatan maksimum, maka persamaan tersebut harus diturunkan:
S(t) = 3t2 - 24t + 5
S'(t) = 2.3t(2-1) - 1.24t(1-1) + 0
S'(t) = 6t - 24 = 0
6t = 24
t =
S(t) = 3t2 - 24t + 5
S'(t) = 2.3t(2-1) - 1.24t(1-1) + 0
S'(t) = 6t - 24 = 0
6t = 24
t =
24 6
= 4 detik Soal No.9
Sebuah pabrik baju dalam memproduksi memerlukan x meter kain yang dinyatakan dengan fungsi:
P(x) =
Berapa biaya produksi minimum yang dikeluarkan oleh pabrik baju tersebut ? 1 3
x2 - 12x + 150 (dalam juta rupiah) Pembahasan
P(x) akan bernilai minimum jika P'(x) = 0
P(x) =
P'(x) =
P'(x) =
Karena kita akan mencari nilai minimum, sesuai dengan syarat P'(x) = 0, maka :
P'(x) = 0
x =
Dengan demikian, biaya produksinya adalah :
P(x) =
P(18) =
P(18) = 108 - 216 + 150
p(18) = 42 (dalam juta rupiah)
P(x) =
1 3
x2 - 12x + 150 (dalam juta rupiah) P'(x) =
1 3
.2.x - 12P'(x) =
2 3
x - 12Karena kita akan mencari nilai minimum, sesuai dengan syarat P'(x) = 0, maka :
P'(x) = 0
2 3
x - 12 = 0 2 3
x = 12x =
12.3 2
= 18Dengan demikian, biaya produksinya adalah :
P(x) =
1 3
x2 - 12x + 150 P(18) =
1 3
(182) - 12(18) + 150 P(18) = 108 - 216 + 150
p(18) = 42 (dalam juta rupiah)
Soal No.10
Turunan dari fungsi f(x) =
x -2 x2 + 3
adalah .....A.
x2 - 4x + 3 (x2 + 3)2
B.
2x2 - 3x + 1 (x2 + 3)2
C.
-x2 - 4x + 3 (x2 + 3)2
D.
-x2 + 4x + 3 (x2 + 3)2
Pembahasan
f(x) =
f(x) =
Dengan demikian :
u = x - 2 ⇔ u' = 1
v = x2 + 3 ⇔ v' = 2x
Sehingga turunannya adalah:
f(x) =
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Jawab : D
Sumber https://bfl-definisi.blogspot.com/ u v
f(x) =
u'v - uv' v2
Dengan demikian :
u = x - 2 ⇔ u' = 1
v = x2 + 3 ⇔ v' = 2x
Sehingga turunannya adalah:
f(x) =
x -2 x2 + 3
f'(x) =
(1)(x2 + 3) - ((x - 2)2x) (x2 + 3)2
f'(x) =
x2 + 3 - 2x + 4x (x2 + 3)2
f'(x) =
-x2 + 4x + 3 (x2 + 3)2
Jawab : D
