Kita sudah membahas Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas. Pada tulisan tersebut dijelaskan bahwa dalam pemodelan fenomena perubahan dunia nyata, syarat awal sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syarat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, membentuk persamaan diferensial.
Pada tulisan kali ini, kita akan membahas pengertian persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linier dan tak linier beserta dengan contoh soalnya.
Pengertian Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil $y(x)$ suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan $x$ variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:
Pengertian Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil $y(x)$ suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan $x$ variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:
$F(x, \ y, \ y", \ ... \ y^{(n)})=0$
Order dari suatu PDB didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Derajat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam PD.
Contoh:
- $1+ ( \frac{dy}{dx} )^2 = 3 \frac{d^2y}{(dx)^2}$ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
- $x (y")^3+(y')^4-y=0$ adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.
Pengertian Persamaan Linier dan Tidak Linier
Suatu PD adalah linier jika dan hanya jika setiap suku persanaan yang memuat variabel terikat atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat 1.
Contoh:
- $y"+4xy'+2y=cos \ x $ adalah PD biasa, linier, dan berorde 2.
- $y"+4yy'+y'+2y=cos \ x$ adalah PD tidak linier karena memuat $yy'$.
- $\frac {d^2u}{(dx)^2}+ \frac {dv}{dt}+u+v=sin \ (u)$ adalah PD parsial, linier dalam v, tetapi tidak linier dalam u karena ada fungsi $sin \ (u) $. Jadi, PD tersebut tidak linier.
- $\frac {d^2x}{(dt)^2}+ \frac{dy}{dt}+xy =sin \ (t) $ adalah linier dalam setiap variabel tak bebas x dan y tetapi tidak linier dalam himpunan {x, y}. Jadi, PD tersebut tidak linier.
Untuk bacaan selanjutnya silahkan menuju ke Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n.
