PD Tak Eksak merupakan pembahasan kita yang terakhir untuk PD Tingkat 1. Sebelumnya kita telah membahas Persamaan Diferensial Eksak. Jika diberikan PD M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, apabila $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD tersebut PD Eksak, sedangkan jika $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD Tak Eksak.
PD Tak Eksak seringkali bisa diubah ke PD Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.
Teorema:
PD Tak Eksak seringkali bisa diubah ke PD Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.
Teorema:
- Jika $\frac{1}{N} (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$ adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka $e^{ \int f(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
- Jika $\frac{1}{M} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ adalah suatu fungsi dari y saja, katakan g(x), maka $e^{ \int g(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
Bukti:
- Berdasarkan hipotesis, jika p(x) adalah faktor pengintegralan yang tergantung pada variabel x saja maka $p(x)M(x,y) \ dx + p(x) N(x,y) \ dy =0$ adalah diferensial eksak. Dipunyai syarat perlu $\frac{\partial}{\partial y}(pM)= \frac{\partial}{\partial x}(pN) $ $\Rightarrow $ $p \frac{\partial M}{\partial y} = p \frac{\partial N}{\partial x}+N \frac{\partial p}{\partial x} $ akhirnya diperoleh $\frac{\partial p}{\partial x} = p \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})=p(x)f(x) $ yang mempunyai suatu penyelesaian umum $p(x) = e^{\int f(x) \ dx} $
- Analog dengan pembuktian 1.
Contoh: Selesaikan PD $(3x^2y + 2xy+y^3) \ dx+ (x^2+y^2) \ dy=0$ !
Jawab:
$M=3x^2y+2xy+y^3 \Rightarrow M_y=3x^2+2x+3y^2$
$N=x^2+y^2 \Rightarrow N_x=2x$
Karena $\frac{M_y-N_x}{N}=3$ merupakan fungsi x saja, maka $p(x)=e^{\int 3 \ dx}=e^{3x}$ merupakan faktor pengintegralan. Akibatnya, $e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)dx+e^{3x}(x^2+y^2)dy=0$ adalah PD Eksak.
Diambil fungsi diferensialnya adalah u(x,y) dengan
- $\frac{\partial u}{\partial x} = M_2(x,y) = e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = N_2(x,y) = e^{3x}(x^2+y^2)$
$\begin{align} u(x,y) &= \int N_2(x,y) \ dy \\ &= \int e^{3x}(x^2+y^2) \ dy \\ &= e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3}) + k(x) \end{align} $
Dengan memperhatikan kesamaan $\frac{\partial u}{\partial x} = e^{3x}(2xy+3x^2y+y^3)+k'(x)=M_2(x,y) $, maka diperoleh $k'(x)=0 \rightarrow k(x)=c $. Jadi, solusi umum PD awal adalah $u(x,y)=e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3})=k $
