Kita telah membahas materi-materi PD Linier Tingkat satu, baik yang bentuknya umum maupun yang bentuknya khusus. Bentuk khususnya yaitu PD Bernouli dan PD Riccati. Pada kesempatan ini, kita akan membahas suatu metode yang disebut Metode Integrasi dalam menyelesaikan PD Tingkat 1, baik yang linier ataupun yang non linier.
Apa sih yang dimaksud dengan metode integrasi, jika dilihat dari kata "integrasi" maka ini berarti menggunakan integral. Benar nggk tuh? Kalau kita pikir-pikir, bukannya semua proses penyelesaian persamaan diferensial pasti melibatkan integrasi? Maka Kita perlu memahami maksud dari "metode integrasi" ini.
Metode integrasi dapat dilakukan apabila bentuk PDnya merupakan PD yang variabel bebas dan terikatnya terpisahkan. Maksud dari terpisahkan ini adalah masing-masing variabel tidak bersama pada suatu suku dalam persamaan tersebut misalnya satu variabelnya berada di satu ruas (misalnya ruas kiri) sedangkan variabel yang lainnya berada di ruas yang lain (berarti di ruas kanan) atau sama-sama di ruas yang sama tetapi dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang. Faham, kan? Namun, tidak semua PD tingkat satu dapat terpisahkan. (Jadi ada PD yang variabel x dan y itu gak bisa dipisahkan, kayak dia dan kamu, iya kamu, cie..!)
Kita dapat memanipulasi secara aljabar suatu PD yang variabelnya dapat dipisahkan, menjadi bentuk:
Contoh:
Selesaikan $xy \ dx + (1+x^2) \ dy = 0$ dengan metode integrasi!
Solusi: Faktor integrasinya adalah $\frac{1}{y (1+x^2)}$
Sehingga, $\begin{align} & \frac{1}{y(1+x^2)}[xy \ dx+(1+x^2) \ dy] =0 \\ & \leftrightarrow \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \frac{1}{y} \ dy=0 \\ & \leftrightarrow \int \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \int \frac{1}{y} \ dy=k \\ \frac{1}{2} ln|1+x^2|+ln|y|=C \\ & \leftrightarrow ln (1+x^2)^{\frac{1}{2}}y = ln \ e^c \\ & \leftrightarrow \sqrt{1+x^2} y = e^c \end{align} $
Jadi, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah $y = \frac{e^c}{\sqrt{1+x^2}} $
Sumber https://www.matematikakubisa.biz.id/
Apa sih yang dimaksud dengan metode integrasi, jika dilihat dari kata "integrasi" maka ini berarti menggunakan integral. Benar nggk tuh? Kalau kita pikir-pikir, bukannya semua proses penyelesaian persamaan diferensial pasti melibatkan integrasi? Maka Kita perlu memahami maksud dari "metode integrasi" ini.
Metode integrasi dapat dilakukan apabila bentuk PDnya merupakan PD yang variabel bebas dan terikatnya terpisahkan. Maksud dari terpisahkan ini adalah masing-masing variabel tidak bersama pada suatu suku dalam persamaan tersebut misalnya satu variabelnya berada di satu ruas (misalnya ruas kiri) sedangkan variabel yang lainnya berada di ruas yang lain (berarti di ruas kanan) atau sama-sama di ruas yang sama tetapi dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang. Faham, kan? Namun, tidak semua PD tingkat satu dapat terpisahkan. (Jadi ada PD yang variabel x dan y itu gak bisa dipisahkan, kayak dia dan kamu, iya kamu, cie..!)
Kita dapat memanipulasi secara aljabar suatu PD yang variabelnya dapat dipisahkan, menjadi bentuk:
g(y) dy = f(x) dxsehingga diperoleh solusi umum:
$ \int g (y) dy = \int f (x) dx$Ada juga bentuk lain yang lebih umum:
$f_1 (x)g_1 (y) \ dx= f_2 (x)g_2 (y) \ dy=0$atau
$M (x,y) \ dx + N (x,y)\ dy =0$dapat dibentuk menjadi persamaan difernsial dengan variabel terpisah dengan menggunakan faktor integrasi:
$\frac{1}{g_1 (y)f_2 (x)} $Sehingga dihasilkan:
$\begin{align} \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \frac{g_2(y)}{g_1(y)} \ dy &= 0 \\ \Leftrightarrow \int \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \int \frac{g_2 (y)}{g_1 (y)} \ dy &=0 \end{align} $
Contoh:
Selesaikan $xy \ dx + (1+x^2) \ dy = 0$ dengan metode integrasi!
Solusi: Faktor integrasinya adalah $\frac{1}{y (1+x^2)}$
Sehingga, $\begin{align} & \frac{1}{y(1+x^2)}[xy \ dx+(1+x^2) \ dy] =0 \\ & \leftrightarrow \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \frac{1}{y} \ dy=0 \\ & \leftrightarrow \int \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \int \frac{1}{y} \ dy=k \\ \frac{1}{2} ln|1+x^2|+ln|y|=C \\ & \leftrightarrow ln (1+x^2)^{\frac{1}{2}}y = ln \ e^c \\ & \leftrightarrow \sqrt{1+x^2} y = e^c \end{align} $
Jadi, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah $y = \frac{e^c}{\sqrt{1+x^2}} $
